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基于CVaR的均值—VaR前沿研究——兼和均值—方差前沿的比较pdf

发布时间:2019-06-15 20:29 来源:未知 编辑:admin

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  2008中国发展进程中的管理科学与工程(卷I) andS.Toumi(2005).Portfolio [26]Prigent,卜L Manage- [24]丁元耀.不容许卖空的组合投资决策[J].运筹与管 meritwith Criteriain FinancialMarkets 理,2002,11(1):92—97. Safety Complete Journalof [25]丁元耀.概率风险准则下的组合投资决策口].统计与 [J].International 决策,2003(4):22—23. 250. 基于CVaR的均值一VaR前沿研究 ——兼与均值一方差前沿的比较 朱波,厉志东 西南财经大学金融学院,四川成都610074 摘要:本文借助动态阔值,通过风险资产组合的精确均值--CVaR前沿经验地求取出了最优的近似均值一V出前沿。 在正态分布假设下,本文证明了均值VaR前沿等价于均值一方差前沿,且此时风险VaR测度并不比方差提供更多关于收 值一方差前沿上的组合选择进行了比较。最后,我们在l;B-pi-CVaR/VaR空间上对本文的结论进行了扩展。 关键词:VaR;CVaR;组合优化;风险管理 VaR前沿的经济意义进行了比较。 1引言 国内对均值一vaR/CVaR前沿的研究也刚刚起 Markowitz(1952)的现代组合管理理论假设组合 步。刘小茂等(2003,2005)在收益正态分布的假设下 中风险资产的收益服从正态分布,在该假设下,组合收 推导了资产组合的均值一CV水前沿,并与均值一方 益的标准差是组合风险的良好测度。但统计数据表 差前沿进行了理论对比。林旭东(2004)、郭福华 明,市场上资产的真实收益分布往往是尖峰厚尾且非 (2004)在收益正态分布的假设下建立了均值一CVaR 对称的。实证中,最小方差组合与VaR、CVaR等能够模型,给出了其有效前沿的表述并推导了其性质,最 刻画收益分布上述统计特征的风险测度下的有效组合 后通过一个实例进行验证。但是国内的研究都是在收 相去甚远。 益正态分布假设F从理论上推导均值一CVaR前沿, 当组合中资产的收益不服从正态分布时,VaR不 还没有学者采用历史模拟法经验地给出均值一VaR 是一致性(coherent)的风险测度,即不满足子可加性前沿,并为资产组合的最优风险管理决策提出建议。 et [Artznera1.(1999),P.217]。也就是说,两种资产 组合的VaR可能大于等于单个资产的VaR之和: 以组合收益与Scaled--t分布的绝对离差为目标函数 VaR(A1+A2)≥VaR(A1)+VaR(Az)建立了机会约束优化问题,但它是以静态阈值为导向 换言之,VaR测度并不像方差那样能够捕捉到资 的。 产组合可以通过分散化降低组合风险的特性。因此, 本文借助动态阈值,通过风险资产组合的精确均 借助VaR测度我们元法有效地估计资产组合真实的 值一CvaR前沿经验地求取出了最优的近似均值一 风险,进而也就不能通过降低组合风险的大小最优地 VaR前沿。我们对基于CVaR的最优均值一V水前 管理风险资产组合。与VaR测度不同,CVaR测度满沿与正态分布假设下的均值一V水前沿进行了比较, 足一致性,它是组合资产头寸(五)的凸函数。凸函数 发现正态均值一VaR前沿与均值一方差前沿重合,佐 保证了用CV水测度进行资产组合优化存在唯一的、 证了我们对正态分布假设下均值一V水前沿与均 and K.eta1. 性质良好的最优解(见RockafellarUryasev,值一方差前沿等价的论断,进而拓展了Pavlo 2000)。PavloK.eta1.(2001)在CVaR的约束下建立 了对最小组合损失优化问题,并对均值一方差前沿和 平,我们分别在均值一标准差平面与均值~vaR平面 Frontier)进行了比 条件在险价值前沿(Mean—CVaR 对均值一VaR前沿、正态均值一V水前沿和均值一方 较。AlexanderGJ.et aL(2002)进一步在一般均衡差前沿上的组合选择进行了比较。最后,我们在伊彬一 框架下对正态收益假设下均值一方差前沿和均值一 CV水/VaR空间上对文中的结论进行了扩展。无疑, 专题3金融工程及风险投资管理 我们的工作为基金以及其他投资机构的资产组合选择 率f(x,y)为列向量一Rx。假设兀为资产组合的日均 提供了一个测度和管理风险的有效:r具。 收益率列向亘(%为资产咒的日均收益率),那么对于 下文的安排如下:第二部分风险测度进行了简单 任一给定的组合期望收益率∥,都有x7尢=∥成立。 的数学描述,并建立了关于CvaR的优化模型;第三部于是,我们可以根据式(5)建立关于CVaR口的优化模 分对数据进行了描述,给出了经验结果并进行了讨论; 型: 第四部分总结了全文并指出了进一步研究的方向。 。 I∈X.口’ 一V 2风险测度的数学描述和模型的建立 s.t.xo;xTe=1;xrn=p/ (P1) 为了下文方便比较,在资产收益服从正态分布假 2.1风险测度的数学描述 设下,我们分别给出了均值一方差前沿的优化模型 and 参照RockafellarUryasev(2000)和Clemente (P2)和的最小VaR优化模型(P3): (2003)的定义方法,假设损失f(x,y)为决策变量x和 rain÷x7f攻 (P2) 随机变旨Y的函数,其中x为P中X的子集,Y为R,,l IFX厶 中的随机变量。向量x代表含有约束的备选集合x中 s.t.X0;xTe=I;x7行=加 rain VaR=口.磊丽:一r兀 (P3) 的一个投资组合,向量Y代表影响损失的风险因子。 I∈X 假定Y的密度函数为户y,则投资组合的损失f(x,y)不 s.t.x0;xTe=l;xTn=pi 大于阈值口的累积分布函数为: 其中,Q为权重向量X的方差一协方差矩阵。文中已 r 经提到,当资产收益服从正态分布时,VaR不是一致 W(x,口)=l,P(y)d(y) d,u【.yJ{蝴 其中,卫(x,口)对阈值口非减、右连续。定义VaR和 解。 CVaRp为决策变量X和特定置信水平卢∈(0,1)的随 显然,在任意置信水平p∈(O,1)下,当期望收益 机损失变量分别用aa(x)和如(x)表示,其中: 加相同时,优化问题(P2)是优化问题(P3)的线) aa(x)=min{aER:xlt(x,口)≥胁 换,各自所对应的解向量是相同的,即优化问题(P2) 广 (3) 与(P3)是等价的: 如(x)=(1一p.1f(x,y)p(y)dy J,【I,”:≥‘‘埘 (P2)C=}mi疗/;丽:甘(P3) 2.2优化模型的建立 x∈X VaR是与损失分布上的单个点(分位数)相对应 S.t.x0;x7e=l;x丁兀一户i (6) 因此,在正态分布假设下,均值一VaR前沿等价 的,而CVaR口用于估计损失分布尾部极端损失的均 于均值一方差前沿,此时风险测度VaR并不比方差提 值,而且CVaRa是条件损失残差的条件均值。进而, 供更多关于收益分布尾部的信息。我们在下文中还将 我们关于CVaR口的月标函数一(x,口)可以通过即(x) 进一步说明。 和Ca(x)在x×R上定义: 3数据说明和实证结果 昂(x,口)一口+(1一pqJ,∈驴[,(x,y)一口]+p(y)dy (4) 3.1数据说明 其中,[”]+一max(u,o)(下同),aa(x)简写为口(下同)。 需要指出的是,R(x,口)中的口是x的函数,为动态阈350个样本点一般都会低估尾部风险(VaR)。换言 值。 之,如果数据过少,采用历史模拟法便不能够捕捉到那 些例外的价格波动或者损失分布中的“跳跃”。为此, 在密度函数户(y)过于复杂或未知情形下,式(4) 可以通过p(y)进行蒙特卡罗模拟或历史模拟获得一我们从Wind资讯选取了华夏蓝筹核心基金2007年 第3季度的前13只霞仓股,并剔除3只样本期过小的 组样本数据Y。,Yz,…,%来逼近G。(x)和昂(x,口): (5) Fp(x,口)=口+(1一p-1q-1∑。[,(x,y一口]+ 11月7日的1201个交易日的向前复权的收盘价数 其中,q代表样本数(下同)。显然,E(x,口)对是可分、不 据。对收盘价向前复权能够避免因分红派息、发放股 可微的凸函数,可用线性规划方法来求解最小值。 票股利等因素对股票价格水平及其波动性的影响。为 假设资产组合的权重x=[z。,屯,…,岛]丁(其中了反映组合收益的真实情况,如果样本股在某交易日 xo,X丁e=1,e为单位列向量),收益率矩阵为R(其 停牌,我们假定该日收盘价为前期最近1个交易日的 中,K.。代表资产咒在情形q时的收益率),组合的损失 收盘价。根据各只股票在基金中净值的比例,我们重 310 2008中国发展进程中的管理科学与工程(卷I) 新计算它们在样本组合中的权重(见表1)。 表1 组合中股票名称及其权重 股票 代码 初始 0.2520590.150046 0.1102470.092864 0.112534 权莆 日均 褶 0.2062%0.1525%0.2735%0.1625%0.1815% 收益率 擎 劂 股票 黑 代码 初始 0.0649590.0640440.0498630.0562670.04711£ 权重 日均 0.1748%0.1815%0.1422%0.2111%0.1527% 收益率 若不特别声明,文中均假定资产组合的价值为单 VaR/CVaR(99%) 位1,且假定这时资产组合的VaR足在99%置信水平 下、持有期为1个交易日的最大可能损失率。鉴于几 图l从CVaR求取VaR与正态假设VaR 何收益率能够刻I田j红利收益用于再投资,我们采取样 较小,但是在与原组合相同的组合VaR下,我们通过 本股的对数收益率:n—log[(p。+吐)/PH]生成收益 重新选择权重可使得期望收益率迅速提高。 率矩阵R。采用历史模拟法,对含有1200个组合损失 为了方便比较,我们在不同期望收益率下对优化 率的列向量一Rx进行降序排序,在99%置信水平下, 问题(P3)进行求解,图1给出了在正态分布假设下不 其第13个损失率即为样本组合的VaR。 允许卖空的均值一VaR前沿。图1中基于99%置信 3.2实证结果 水平下的正态均值一VaR前沿在最优均值一V水前 1.从精确的均值一CV口尺前沿求取近似的均值一 沿的左方,说明基于正态分布假设的组合VaR低估了 VaR前沿 风险的真实值,这与资产组合收益实际分布的厚尾特 给定与样本组合相同的期望收益率∥,我们对优 征有关。用收益率矩阵R乘以样本组合的权重】【0可 化问题(P1)求解。(P1)的最小值即为99%置信水平 得到样本收益率向量Rxo,再将样本收益分布的分位 下的最小CVaR(x。),其所对应的解X‘为组合的最优 数和与其相同均值和方差的正态分布分位数进行对比 权重向量。采用历史模拟法,对含有1200个组合损失 便得到了QQ图(见图2)。在图2中,样本收益率左尾 率的列向量一Rx。进行降序排序,在99%置信水平下, 的分位数要小于正态分布的分位数,从左向右第13个 其第13个损失率即为样本组合的VaR。。按照同样 “+”在虚线%置信水平下的 方法,我们等问距地分别选取0.1422%n0.2735%之 VaR被正态分布分位数低估,且“+”与虚线)逐个进行优化求解。 离的大小显示了低估的程度。 我们可以得到每一个给定∥值下最小cvaR(x’)及 其所对应的最优权重X。。利用最优权重X’,我们可 以进一步完成从精确的最小CVaR(x’)到近似的 VaR(x。)的求取。于是,在均值一VaR平面内,我们 可以得到不存在卖空的条件下、精确的均值一CVaR 籁 前沿,以及由其所对应的最优权重求取的近似均值一 掣 隶 VaR前沿(见图1)。 相 警 为了更好地说明函数CVaR(x’)和VaR(x’)对* 婪 X’的性质,图1中的均值一V水/CVaR前沿直接是由 线可以看出,均值一CVaR前 沿较为平滑,而均值一V水前沿略微粗糙,这足因为 CVaR(x‘)是x。的严格凸函数而VaR(x’)不是x。的 正态分位数 严格凸函数。图1中的样本组合与均值一V水前沿 图2正态分布与样本收益的QQ围 非常接近,说明原组合在该期望收益率下的组合VaR 专题3金融工程及风险投资管理 311 2.近似的均值一vaR前沿与均值一方差前沿、正 态均值~VaR前沿的比较 在不存在卖空的约束下,我们建立关于组合方差 的目标函数,运用二次规划求解(P2)得到了样本组合 的均值~方差前沿(图3中的M-V-F)。在不同的期望 收益下,利用(P1)解出的最优权重可以到组合的最小 方差,我们可把均值一CVaR前沿的最优权重“转移” 到均值一标准差平面内[图3中的CVaR(99%)M-V— F]。按照同样方法,我们也可以把正态均值一V水前 沿“转移”到均值一标准差平面内。图3中,正态均 值--VaR前沿与均值一方差前沿重合,说明两者的最 VaR/CVaR(99%) 优权重是相同的,佐证了文中的“在正态分布假设下均 —卜M—v.FVaR——M—v_FCVaR 值一VaR前沿与均值一方差前沿等价”的论断[见式 ——卜VaR …………CVaR (6)]。 图4均值一、k瓜平面内的均值一方差前沿 再将由(P3)得到最优权重组合逐一代人等式 (5),我们还可以把均值一方差前沿上最优组合“转移” 分布离散程度的特征(见图3),而M—V—FCVaR不能 到均值一cVaR平面内(见图4)。图4中的M—V—F 像由(P1)优化求解出的CVaR那样提供有关收益尾 VaR和M-V-F CVaR分别代表均值一方差前沿(或正部的信息(见图4)。这是基于历史模拟法的均值一 态均值一VaR前沿)上最优组合在均值一V水平面内CVaR前沿和由之求取的近似均值一vaR前沿优于均 的VaR和CVaR。图4中,虽然M—v-FVaR在个别点 值一方差前沿和正态均值一VaR前沿的关键,图3和 上占优于均值一CVaR前沿,但这并不代表VaR的测 图4很好地说明了上述问题。 度失效,这是因为这里的VaR是由优化问题(P1)的解 近似求取的。 间上的扩展 上面的讨论只基于99%的置信水平,我们下面给 出了基于90%~99%置信水平下的均值一V承/ CVaR曲面,即通过引入置信水平的维度将图1扩展 三层分别是均值一CV水曲面、近似均值~VaR曲面 和正态均值一V水曲面。正态均值一VaR曲面也可 以看成是均值一方差曲面在伊pi—CVaR/VaR空间上 的投影。正态均值一V水曲面上的每一点都在近似 均值--VaR曲面下方且两曲面在任意相同(口,∥)下的 V出之差即为在置信水平(以)和期望收益(∥)下正态 标准差 假设VaR对实际VaR的低估值。 —_弓一M—D--F—-●-一VaR(99%)M—D_-F 十正态VaRM一胪F廿样本组合 图5顶层和底层较为光滑,而中间层凹凸不平足 图3均值一标准差平面内的均值--VaR前沿 VaR(x’)不是x’的严格凸函数。在相同期望收益∥ 需要指出的是,当期望收益增加时,在均值一标准 下,随着置信水平的增大,CV状/v{水基本逐渐增加。 差平面内,CVaR(99%)M-V-F与M—V-F越来越接近,通过均值一V水/CV水曲面,我们能够读取任意(口, 直至基本重合[与PavloI(.等(2001)结论相同,见图 33;而均值--VaR平面内,M—V—FCVaR离由(P1)优 面的形状包含了V水/CV水随(口,pi)变化的所有信 K.eta1.(2001) 化求解出的CVaR越来越远[与Pavlo 息,克服了在单一置信水平下均值一VaR/CV水前沿 结论相反,见图4]。这说明,当期望收益增加时, 的缺陷。根据风险管理的需要,我们可以通过选择不 CVaR(99%)M—v.F能够捕捉到M—V-F刻画总体收益 同的p、pi来得到最优的资产组合。 2008十目发展进#十∞菅4科学自I#(善 参考文献 Coher t Del6am,F,Ekr,J,H∞th,n [1]Ammer,P ∞tM∞…of H…1999. Risk:J]Mathmlieal №3.203—228 vallPat。Risk/Ex e_TeeEmpirical [z]AmlmⅡCWnem Risk Retu帅Fromi口AUseMTol】ofh虹kc peetot of Rome. J,lkptista丸M [3]AhxandⅡG of aMean,VaRmedelfor seleeti蛳a using porddio Economic 1159—1193 Dymmr.ics&Contr01.2002.29 图s不同置信水平下均值—“aR,v姐∞面 Pottfolio ofFi一 [4]Markowlm.HSelectlon口]Jou册l …e.1952.Ⅷ7 4结论 ES]PavbK.J曲直sR,aT-dUr]as胛sP帆bImOptLTTli— mtionwithCoaditmml andCo.。 vaIu朋PRI^Objective 奉文证明了正态分布假设下均值一vaR前沿等 价于均值一方差前沿,且此时风险VaR测度并不比方 IⅫLofIadmtti{d∞dst一№㈣* 差提供更多关于收益分布尾都的信息,基于99%置 Simuh一 信水平下,瑰们分别在均值标准差平面与均值 Paper,Federal 曲“R]Working VaR平面对均值一VaR前措、正态均值一vaR前沿和 B。ad Mank [7]R∞ew∞岫Ⅻ.Ⅻot 均值一方差前措上的组合选择进行了比较。当期望收 [8]Rockafdl日r.R 益增加时,在均值—标准差平面内tCVaR(09“)M—V- JoumlofRiskt2000, didomlⅧ咿at-Rtsk[J]The F与M_v_F越来超接近,直至基本重台[与PavloKn Vol 2,No.3 at(2001)结论相同];而均值一vaR平面内,M—V—F [9]刘小茂。李楚蒜,i建华风险资产组合的均值—cvaR CVaR离由优化求解出的CVaR越来越远[与Pavlo 有效前j骨(I)[J]管理工程学报。2003(19 KⅢal(20011结论相反]。最后t我们肘结论在5-pi— 11们刘小茂t孛楚霖,f建华.风险资产组台的坶值一cV诅 CVaR/VaR空间上进行了扩展。无疑,我们的工作为 有效前罱(Ⅱ1口]管理工程学报,2005(1) 基金或其他投资机构的资产组合选择提供了一个有教 :11]林旭东正态条件下均值cvaR有效前甜的研究 的测度和管理风险的工具。 D]管理科学第17卷第3期,2004(6) 不可否认,采用历史模拟法比采用参数法所计算 :1习韩福华,彭大街,吴健雄机会约束下的均值一v£R投 的VaR置信区间要大。可以考虑用极值分布来拟合 资组合模型研究口]中国管理科学,2。04(z) 历史数据.进而借助copula方法进行降维处理求取均 [is]s良,杨乃定,姜继娇机会约束下基于捏合整鼓删 值一vaR前沿。可以预见,引入交易成本,通过多目 的均值--VaR证券投资基金投资组合选择模墅D].系 标规射求解出的均值一VaR前沿将进一步右移。这 统工程,2C07(1) 些都是我们下一步需要做的Ii怍。

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